مهندسی کده

دنیای شگفت انگیز نمودارهای ورونوی
مقدمه ای کوتاه در مورد این الگوی همه جا حاضر و کاربردهای آن

نمودارهای Voronoi (همچنین به عنوان Tesselation دیریکله یا Thiessen Polygons نیز شناخته می شود) در همه جای طبیعت وجود دارد. شما هزاران بار با آنها برخورد کرده اید، اما شاید آن را اینگونه نامیده اید. نمودار Voronoi ساده است، اما دارای خواص باورنکردنی است که کاربردهایی در زمینه های مختلف از نقشه کشی، زیست شناسی، علوم کامپیوتر، آمار، باستان شناسی، همه راه ها تا معماری و هنر پیدا کرده است.
نمودار ورونوی چیست؟

انجام پروژه متلب پروژه های متلب

فرض کنید شما n نقطه پراکنده در یک صفحه دارید، نمودار ورونوی آن نقاط صفحه را دقیقاً در n سلول تقسیم می کند که قسمتی از صفحه را که نزدیک ترین نقطه به هر نقطه است در بر می گیرد. با این کار یک تسلیت تولید می شود که به طور کامل هواپیما را می پوشاند. به عنوان مثال، در شکل 1، 100 نقطه تصادفی و نمودار ورونوی مربوط به آنها را رسم کردم. همانطور که می بینید، هر نقطه در یک سلول محصور شده است که مرزهای آن دقیقاً بین دو یا چند نقطه فاصله دارند. به عبارت دیگر، تمام ناحیه محصور در سلول نسبت به هر نقطه دیگری به نقطه سلول نزدیکتر است.
شکل 1: نمودار ورونوی
منبع: تصویر نویسنده
الگوهای Voronoi در همه جا وجود دارند

الگوهای ورونوی در طبیعت

الگوی ایجاد شده توسط نمودارهای Voronoi یک الگوی رایج در طبیعت است. در شکل 2، من یک کولاژ کوچک از برخی الگوهای طبیعی مانند ورونوی درست کردم. از سلول های میکروسکوپی در پوست پیاز گرفته تا پوسته جک فروت ها و پوشش زرافه ها. این الگوها همه جا هستند!

اولین دلیل حضور همه جانبه آنها این است که آنها اشکال کارآمدی را تشکیل می دهند. همانطور که قبلاً اشاره کردیم، نمودار ورونوی به طور کامل هواپیما را تشدید می کند: از این رو، از تمام فضا استفاده می شود. اگر می‌خواهید در یک فضای محدود - مانند فیبرهای عضلانی یا کندوهای زنبور عسل - تا حد ممکن فشار دهید، بسیار راحت است. ثانیاً، نمودارهای ورونوی یک الگوی خود به خودی هستند هر زمان که چیزی با نرخ رشد یکنواخت از نقاط جداگانه رشد می کند (شکل 3 را ببینید). به عنوان مثال، این توضیح می دهد که چرا زرافه ها چنین الگویی را از خود نشان می دهند. جنین زرافه دارای توزیع پراکنده ای از سلول های ترشح کننده ملانین است که مسئول رنگدانه تیره لکه های زرافه است. در طول دوران بارداری، این سلول ها ملانین آزاد می کنند - از این رو لکه ها به بیرون تابش می کنند. خواننده علاقه‌مند می‌تواند به این مقاله مراجعه کند، که در آن نویسندگان از نمودارهای Voronoi برای مدل‌سازی نمایش کامپیوتری لکه‌ها بر روی کت حیوانات استفاده می‌کنند.
شکل 2: الگوهای ورونوی در همه جای طبیعت وجود دارد.
(از بالا به چپ به پایین سمت راست: مقطع ماهیچه، طرح‌های کت زرافه، بال‌های سنجاقک، پیاز سیر، میخچه، میوه‌های جک از درخت آویزان شده‌اند.)
منبع: ویکی پدیا، نیرو شاه، کارولینا گرابوسکا، استارگلید، مالی مائدر، ابی جاکوب
شکل 3: نمودار ورونوی از رشد ثابت به بیرون از نقاط پراکنده به دست می آید
منبع: ویکی پدیا

طراحی لوگو طراحان لوگو لوگو

الگوی ورونوی در معماری و هنر

شاید به دلیل ظاهر "طبیعی" خود به خود، یا صرفاً به دلیل تصادفی مسحورکننده آنها، الگوهای Voronoi عمداً در ساختارهای ساخته شده توسط انسان پیاده سازی شده اند. یک نمونه معماری «مکعب آب» است که برای میزبانی ورزش‌های آبی در بازی‌های المپیک 2008 پکن ساخته شد. نمودارهای Voronoi را در سقف و نماهای خود نشان می دهد (شکل 4). نمودارهای ورونوی به این دلیل انتخاب شدند که حباب های 1 را به یاد می آورند. این تشبیه در شب بسیار واضح است، زمانی که کل نما به رنگ آبی روشن می شود و زنده می شود.
شکل 4: مکعب آب در پکن
منبع: ویکی پدیا

اما قدردانی چینی ها از الگوی Voronoi مطمئناً قدیمی تر از این ساختمان است. ظروف Guan و Ge از سلسله سونگ دارای لعاب ترک‌دار متمایز هستند. سرامیک‌ها می‌توانند به راحتی در طول فرآیند خنک‌سازی ترک بخورند، با این حال ترقه‌های دستگاه Guan و Ge متفاوت است - آنها عمدی هستند. آنها به دلیل ویژگی های زیبایی شناختی خود مورد توجه هستند. به لطف الگوهای Voronoi مانند روی سطح آنها، هر قطعه منحصر به فرد است. تا به امروز، این یکی از تقلیدترین سبک های چینی است (شکل 5).
شکل 5: کالاهای Guan و Ge
منبع: ویکی پدیا، ویکی پدیا

نمودارهای Voronoi نیز در هنرهای گرافیکی برای ایجاد الگوهای "انتزاعی" رایج هستند. من فکر می کنم آنها تصاویر پس زمینه عالی می سازند. به عنوان مثال، من تصویر کوچک این پست را با ایجاد نقاط تصادفی و ساخت نمودار Voronoi ایجاد کردم. سپس، هر سلول را بر اساس فاصله نقطه آن از یک نقطه به طور تصادفی انتخاب شده در کادر رنگ آمیزی کردم (شکل 6). تصاویر پس زمینه بی پایان "انتزاعی" را می توان از این طریق تولید کرد.
شکل 6: نمودار ورونوی رنگی
منبع: تصویر نویسنده
تعریف ریاضی و چند ویژگی جالب

تا اینجا یک نمودار ساده دو بعدی ورونوی ارائه کردیم. با این حال، همان نوع ساختار را می توان به یک فضای n بعدی تعمیم داد. فرض کنید P={p1,p2,…,pm} مجموعه‌ای از m نقطه در فضای n بعدی ما باشد. سپس، فضا را می توان در m سلول های Voronoi، Vi، شامل تمام نقاط Rn که به pi نزدیکتر از هر نقطه دیگری هستند، تقسیم کرد.

طراحی سایت سفارش طراحی سایت سایت

جایی که تابع d(x,y) فاصله (a) بین دو آرگومان خود را نشان می دهد. به طور معمول، E